Lógica matemática- introdução

A palavra lógica deriva da palavra grega logique, que significa ciência do raciocínio . A lógica matemática é um ramo da ciência que se dedica ao estudo do raciocínio matemático.

Preposições

Vamos tentar alargar os conhecimentos de Matemática, com rigor e clareza, tanto no pensamento como linguagem.

Consideremos as seguintes expressões

  1. Carteira
  2. Cinco é maior que sete
  3. 3+5
  4. 3+5=8

As expressões a) e c) chamam-se termos, nomes ou designações.

As expressões b) e d) emitem um juízo, ou seja, sobre elas é possível dizer se são verdadeiras ou falsas, e as expressões deste tipo designam-se proposições ou frases.

Operações de conjunção

As operações de conjunção caracterizam-se por possuir uma partícula que liga duas preposições.

Considera a proposição

T: Aníbal pratica futebol.

Q: Rosa pratica natação .

A preposição T diz-se conjunção de P e Q.

Como se representa uma conjunção ?

Representa-se pelo símbolo  .

O símbolo  lê-se  “ e”.

Assim a conjunção de duas  preposição  P e P é uma nova preposição  que só é verdadeira quando duas proposições forem verdadeiras.

Construído as tabelas fica :

P Q \left( P\wedge Q \right)
V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

F

F

 

Ou

P Q \left( P\wedge Q \right)
1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

 

Operações de disjunção

Consideremos a proposição :

M: anibal pratica futebol ou natacao

Esta proposição resulta da ligação das proposições elementares:

P: Anibal pratica futebol.

Q: Anibal pratica natação.

A proposição M diz-se disjunção inclusiva de P e Q porque o Anibal pratica uma das modalidades ou ambas.

A disjunção representa-se pelo símbolo  .

O símbolo  lê-se “ou”

Construído as tabelas fica :

P Q P\vee Q
V

V

F

F

F

V

V

F

V

V

V

F

 

A disjunção de duas proposições, P e Q da origem a uma nova proposição , que só é falsa se ambas as proposições forem falsas.

Negação de uma preposição

Negar uma preposição significa atribuir um valor falso a uma frase.

A negação representa-se pelo símbolo .

O símbolo  lê-se “não”.

O Marcos não é inteligente e a rosa pratica futebol

Considere a proposição :

P:O Marcos não é inteligente

Q: A Ana pratica futebol.

Podemos representar simbolicamente :{}^{\sim }P\wedge Q

Leis de Morgan

De Morgan estabelece a seguinte lei de negação da conjunção:

Negar uma conjunção equivale a uma disjunção com preposições negadas

\sim \left( P\wedge Q \right)=\sim P\vee \sim Q

A negação de uma disjunção equivale a uma conjunção com preposições negadas

\sim \left( P\vee Q \right)=\sim P\wedge \sim Q

Operação de implicação

Consideremos a proposição :

T:Se João fizer os TPC, então ele terá boas notas

Esta proposição é a ligação de duas proposições:

P: João faz os TPC

Q: João tem boas notas

A proposição “se P então Q” chama-se implicação. Simbolicamente representa-se assim:

    \[P\Rightarrow Q\]

P-antecedente

Q-consequente

A implicação de duas proposições, P e Q, é a proposição

    \[P\Rightarrow Q\]

, que só é falsa se o antecedente for verdadeiro e consequente for falso

Montando a tabela de verdade

P Q

    \[P\Rightarrow Q\]

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

V

V

 

Observa a tabela abaixo

P Q P\Rightarrow Q \sim P \sim P\vee Q
V

F

V

F

V

V

F

F

V

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

 

P\Rightarrow Q=\sim P\vee Q

A implicação pose ser transformada numa disjunção .

Exemplos

Se o joao estuda, então passara de classe. \left( P\Rightarrow Q \right)

Esta proposição é equivalente.

O joao não estuda ou  passará de classe\left( \sim P\vee Q \right)

Operação de equivalência

Consideremos as proposições P e Q. A operação lógica da dupla implicação é traduzida por P\Rightarrow Q e Q\Rightarrow P ou simplesmente,

P\Leftrightarrow Q  que se -lê “ se e só se”

A equivalência de duas proposições só é verdadeira se ambas tiverem o mesmo valor lógico a falsa ou verdadeira.

 

P Q

    \[P\Leftrightarrow Q\]

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

 

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