Limites exercícios resolvidos

Limites exercícios resolvidos

No calculo de limites é necessário conhecer algumas técnicas  resolutivas , bem como a aplicação das propriedades ,vou apresentar vários exercícios com limites simples e ao complexo, vamos a isso?

Indeterminações

\left| \frac{0}{0} \right|,\left| \left| \frac{\propto }{\propto } \right| \right|,\left| \left| 0x\propto  \right| \right|,\left| \left| \propto -\propto  \right| \right|,\left| \left| {{1}^{\propto }} \right| \right|,\left| \left| {{\propto }^{0}} \right| \right|,\left| \left| {{0}^{0}} \right| \right|

A fim de levantarmos as indeterminações, vamos estudar as regras operatórias de limites as operações algébricas .

 Limites de uma sucessão

Exemplos 1

\underset{x\to +\propto }{\mathop{\lim }}\,\frac{2n+3}{3n-4}

\underset{x\to +\propto }{\mathop{\lim }}\,\frac{2n+3}{3n-4}=\frac{2.+\propto +3}{3.+\propto -4}=\left| \frac{+\propto }{+\propto } \right| é uma indeterminação.

Vamos levantar a indeterminação colocando n em evidência :

\underset{x\to +\propto }{\mathop{\lim }}\,\frac{n\left( 2+\frac{3}{n} \right)}{n\left( 3-\frac{4}{n} \right)}=\frac{2+\frac{3}{+\propto }}{3-\frac{4}{+\propto }}=\frac{2+0}{3-0}=\frac{2}{3}

Exemplo 2

\underset{x\to +\propto }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{n}^{2}}+3n+1}{5{{n}^{2}}+n+5}

\underset{x\to +\propto }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{n}^{2}}+3n+1}{5{{n}^{2}}+n+5}=\frac{2.+\propto +3.+\propto +1}{5.+\propto +(+\propto )+5}=\left| \left| \frac{+\propto }{+\propto } \right| \right| é uma indeterminação

Colocando o n em evodencia

\underset{x\to +\propto }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}\left( 2+\frac{3}{n}+\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)}{{{n}^{2}}\left( 5+\frac{1}{n}+\frac{5}{{{n}^{2}}} \right)}=\frac{2+0+0}{5+0+0}=\frac{2}{5}

Exemplo 3

\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 2{{n}^{2}}-3n+2 \right)}^{3}}}{{{\left( 3{{n}^{3}}-2n+7 \right)}^{2}}}=\left| \left| \frac{+\propto }{+\propto } \right| \right| é uma indeterminação

No numerador , o maior termo possível é {{\left( 2{{n}^{2}} \right)}^{3}}=8{{n}^{6}}

No denominador, o maior termo possível é  {{\left( 3{{n}^{3}} \right)}^{2}}=9{{n}^{6}}

Logo, o limite da sucessão \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{8{{n}^{6}}}{9{{n}^{6}}}=\frac{8}{9}

O limite desse tipo é o quociente dos coeficientes do maior grau.

Limites notável

Exemplos1

\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=\left( 1+0 \right)={{1}^{\propto }} é uma indeterminação

\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}={{e}^{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{1}{n}-1 \right).n}}={{e}^{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{n}}}={{e}^{1}}=e

Exemplo 2

\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{2n+1}{2n} \right)}^{3n}}={{1}^{\propto }}

\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{2n+1}{2n} \right)}^{3n}}={{e}^{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2n+1}{2n}-1 \right).3n}}

={{e}^{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3n}{2n} \right).3n}}

={{e}^{\frac{3}{2}}}

Exemplo 3

\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{3n-3}{3n+1} \right)}^{\frac{n+1}{3}}}

Se subistituir n por +\propto  teremos uma indeterminacao do tipo{{1}^{\propto }}

\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{3n-3}{3n+1} \right)}^{\frac{n+1}{3}}}={{\left( \frac{3.+\propto -3}{3.+\propto +1} \right)}^{\frac{+\propto +1}{3}}}={{1}^{\propto }}

\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{3n-3}{3n+1} \right)}^{\frac{n+1}{3}}}={{\left[ \frac{3n\left( 1-\frac{1}{n} \right)}{3n\left( 1+\frac{1}{3n} \right)} \right]}^{\frac{n+1}{3}}}

=\frac{{{\left( {{e}^{-1}} \right)}^{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n+1}{3n}}}}{{{\left( {{e}^{-\frac{1}{3}}} \right)}^{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n+1}{3n}}}}

=\frac{{{e}^{-\frac{1}{3}}}}{{{e}^{-\frac{1}{9}}}}

={{e}^{-\frac{1}{3}}}.{{e}^{-\frac{1}{9}}}={{e}^{-\frac{4}{9}}}

Limites de uma função

Exemplo 1

\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\left( x-3 \right)=6-3=3

Exemplo 2

\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 4{{x}^{2}}-16 \right)}{2x-4}

\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 4{{x}^{2}}-16 \right)}{2x-4}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{4.2}^{2}}-16 \right)}{2.2-4}=\frac{16-16}{4-4}=\left| \frac{0}{0} \right| é uma indeterminação

\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 4{{x}^{2}}-16 \right)}{2x-4}=\frac{\left( 2x+4 \right)\left( 2x-4 \right)}{\left( 2x-4 \right)}=2x+4=2.2+4=8

Exemplo 3

\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4}{x-2}

\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4}{x-2}=\frac{{{2}^{2}}-4}{2-2}=\frac{0}{0}   é uma indeterminação

\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4}{x-2}=\frac{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)}=x+2=2+2=4

Exemplo 4

\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-4}{\sqrt{x-2}}

\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-4}{\sqrt{x-2}}=\frac{4-4}{\sqrt{2-2}}=\frac{0}{0}

\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{\sqrt{x-2}}=\frac{\left( x-2 \right)\left( \sqrt{x+2} \right)}{\sqrt{x-2}\left( \sqrt{x+2} \right)}=\frac{\left( x-2 \right)\left( \sqrt{x+2} \right)}{x-2}=\sqrt{2+2}=2

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