Limites de uma função – Propriedades

Limites de uma função – Propriedades

Como calcular limites ?

Consideremos o limite \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( 3x+1 \right)  podemos calcular o seu valor fazendo a substituição da variável a por 2 pois x tende para 2.

Muito simples veja o procedimento

\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( 3x+1 \right)=3.2+1=7

Trata-se  de  uma  função  simples,  é  claro  que  à  medida  que  a  função  vai  se tornando complexa a forma de calcular o seu limite  também  vai exigir mais atenção e cálculos.

Vamos considerar agora os limite de função quando x tende para  \propto

Tomando como ponto de partida, a definição de limite quando x tende para um valora podemos dar definição neste caso com muita facilidade

Propriedades Limites de uma função

Atendendo à definição de limite de uma função num ponto podemos concluir imediatamente que:

O limite de uma função constante é a própria constante

\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,k=k

Exemplo

\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,9=9

O limite da soma é igual a soma dos limites

\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)+g(x) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)+\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x)=f+g

Exemplo1

\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{x}^{2}}+x+1 \right]=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}+\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,x+1=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,9+\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,4=9+4=13

O limite da diferença é igual a diferença dos limites

\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)-g(x) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)-\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x)=f-g

Exemplos2

\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{x}{2}-4x-1 \right]=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2}-\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,4x-1=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{2}-\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,11=\frac{3}{2}-11=-\frac{19}{3}

O limite do produto é igual o produto dos limites.

 

\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x).g(x) \right]=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x).\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x)=f.g

Exemplos3

\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,5x=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,5.\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,x=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,5.\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,1=5.1=5

O limite do quociente é igual ao quociente dos limites.

Exemplos4

\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{x}{25x} \right]=\frac{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,x}{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,25x}=\frac{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,2}{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,25.2}=\frac{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,2}{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,50}=\frac{2}{50}

Vamos agora calcular o limite

exemplo 5

\underset{x\to \sqrt{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+4}

\underset{x\to \sqrt{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+4}=\frac{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}-3}{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{4}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+4}=\frac{3-3}{9+3+4}=\frac{0}{16}=0

Exemplo 6

\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{{{x}^{3}}-x}

\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{{{x}^{3}}-x}=\frac{{{1}^{2}}-2.1+1}{{{1}^{3}}-1}=\frac{0}{0}                         temos uma indeterminação

Mas temos outra via para evitar este problema, vamos simplificar a fracção decompondo os dois factores (numerador e denominador). Teremos:

 

\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{{{x}^{3}}-x}

\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{{{x}^{3}}-x}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( x-1 \right)}{x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)}{x\left( x+1 \right)}=\frac{1-1}{1\left( 1+1 \right)}=\frac{0}{2}

 

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