Inequações Logarítmicas- métodos de resolução

Chamamos  de  inequações  logarítmicas  toda  inequação  que  envolve  logaritmos  com  a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Exemplos de inequações logarítmicas:

\log _{2}^{x}>0

\log _{4}^{\left( x+3 \right)}>\log _{2}^{8}

\log _{2}^{\left( x+2 \right)}>\log _{2}^{8-x}

Como resolver equações logaritmicas

Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes:

1º) Redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base;

2º) Aplicação da propriedade:

\log _{a}^{x}>\log _{a}^{y}

 

Mas vamos nos lembra de algumas restrições

\log _{a}^{x}>\log _{a}^{y}             x>0     e y >0

1ª hipótese: Se a > 1, então                                                2ª hipótese: Se 0 < a < 1, então

\log _{a}^{x}>\log _{a}^{y}\Leftrightarrow x>y                                                       \log _{a}^{x}>\log _{a}^{y}\Leftrightarrow x<y

Exemplo1

Vamos resolver essa inequação

\log _{2}^{\left( x+2 \right)}>\log _{2}^{8}

Resolução

\log _{2}^{\left( x+2 \right)}>\log _{2}^{8}

Condição de existência: x +  2>0. Ou seja,    x >  -2 ({{S}_{1}} )

Como a base ( 2) é maior que 1, temos :

\log _{2}^{\left( x+2 \right)}>\log _{2}^{8}

X+ 2  > 8

x>6  ({{S}_{2}} )

O conjunto solução é  S={{S}_{1}}\cup {{S}_{2}}=\{x\in \left. \mathbb{R} \right|x>6\}

Portanto a solução final é a intersecção de S1 e S2

Exemplo 2

\log _{2}^{\left( \log _{3}^{x} \right)}\ge 0

Condições de existência: x>0 e \log _{3}^{x}>0

Como \log _{2}^{1}=0 , a inequação pode ser escrita assim:

\log _{2}^{\left( \log _{3}^{x} \right)}\ge \log _{2}^{1}

Sendo a base (2) maior que 1, temos: \log _{3}^{x}\ge 1

Como \log _{3}^{3}=1, então , \log _{3}^{x}\ge \log _{3}^{3} e, daí, x\ge 3 , porque a base(3) é maior que 1 .

Exemplo 3

\log _{2}^{\left( x+2 \right)}>\log _{2}^{8}

Como a base (2) é maior que 1, temos:

x + 2 > 8

x > 6

O conjunto solução é S = {x \in  IR| x> 6}.

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