Equações quadráticas paramétricas

Equações paramétricas

Quando a  equação  quadrática apresenta  além  da  incógnita  considerada , contém  outra  variável, denominada parâmetro diz-se paramétrica.

Exemplos

k{{x}^{2}}+kx-4=0

{{x}^{2}}-2x+m-1=0

{{x}^{2}}-1-m=0

Esses são alguns exemplos de equação paramétrica.

Como resolver equações paramétricas?

Não há um método indicado mais com alguns conhecimentos de equações quadrática e possível resolver.

Exemplo 1

Determina o valor de m para que a equação não admita nenhuma solução.

{{x}^{2}}-2x+m-1=0

Uma equação quadrática não admite nenhuma solução em R se somente se , delta for menor de zero(\Delta <0 )

Então vamos extrair os coeficientes

a=1

b=-2

c=m-1

Usando o binómio discriminante \Delta ={{b}^{2}}-4ac ,

Para que essa equação não tenha raízes em R, {{b}^{2}}-4ac>0

{{b}^{2}}-4ac>0

Substituindo com os nossos coeficientes

{{1}^{2}}-4(-2)\left( m-1 \right)>0

 

Resolvendo a inequação

1+8(m-1)>0

1+8m-8>0

8m>7

m>{}^{7}/{}_{8}

m\in \left] {}^{7}/{}_{8};+\propto  \right[

Exemplo 2

Dada a equação 2x+\left( m+3 \right)x+m-1=0 , é uma equação quadrática em ordem a x rendo como parâmetro m .

I. Indique os coeficientes

II. Determine o valor de m de modo que a equação tenha duas raízes dupla.

Os coeficientes são

a=2

b=m+3

c=m-1

Resolvendo a pergunta 2 temos,

Para que uma equação admita duas raízes dupla delta deve ser iguala a zero\left( \Delta =0 \right)

{{b}^{2}}-4ac=0

Substituindo com os coeficientes dados temos:

{{\left( m+3 \right)}^{2}}-4.2\left( m-1 \right)=0

{{m}^{2}}+6m+9-4.2\left( m-1 \right)=0

{{m}^{2}}+6m+9-8m+8=0

Simplificamos os termos semelhantes

{{m}^{2}}-2m+17

\Delta =-64 não temos raízes para que seja o valor de m.

Exemplo 3

Dada a equação, {{x}^{2}}+3x+k=0

I Determine o K de modo que a equação admita raízes reais iguais.

II Determine o k de modo que o produto seja positivo.

Resolução

Extraindo os coeficientes

a=1

b=3

c=k

Para que uma equação quadrática admita duas raízes reais o delta deve ser igual a zero.

{{b}^{2}}-4ac\ge 0

{{3}^{2}}-4.1.k\ge 0

9-4k\ge 0

-4k\ge -9

4k\le 9

k\le {}^{9}/{}_{4}

k\in \left] -\propto ;{}^{9}/{}_{4} \right]

 

Exemplo 4

Dada a equação \left( m+1 \right){{x}^{2}}+2x-1=0

I Determine o valor de m de modo que equação não seja quadrática

II Determine o valor de m de modo que o valor de a seja igual a 2m+4

Na definição de uma equação quadrática diz que todos os coeficientes podem ter o valor de 0 menos o valor de  a, para que a equação não seja quadrática o valor de a deve ser igual a zero .

m+1=0 Resolvendo esta a equação e  pansando o 1 para o segundo membro temos

m=-1

Resolvendo a pergunta 2

Para que o valor de a seja 2m+4 é so igualar

m+1=2m+4

m-2m=4-1

-m=3

m=-3

S=\left\{ -3 \right\}

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