Equação do segundo grau – Fórmula do Bhaskara


Equação quadrática é uma equação polinomial do tipoa{{x}^{2}}+bx+c=0  em que a, b, e c são chamados de coeficientes, que pertence ao conjunto dos números reais com a ≠ 0.

Veja alguns exemplos:

Exemplo 1

{{x}^{2}}-5x+6=0

Vamos extrair os coeficientes

a=1

b=-5

c=6

Exemplo 2

4{{x}^{2}}+3x-1={{x}^{2}}+3x+1=0

Para extrair os coeficientes desta equação precisamos de reduzir a equação na fórmula  a{{x}^{2}}+bx+c=0, vamos a isso

 

4{{x}^{2}}+3x-1={{x}^{2}}+4x+1=0

4{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+3x-4x-1-1=0

3{{x}^{2}}-x-2=0

a=3

b=-1

c=-2

Exemplo 3

5{{b}^{2}}-3+2{{b}^{2}}=6{{b}^{2}}

5{{b}^{2}}+2{{b}^{2}}-6{{b}^{2}}+3=0

{{b}^{2}}+3=0

a=1

b=0

c=3

Como se resolve uma equação quadrática?

As soluções de equações quadráticas podem ser encontradas apartir da formula de bhaskara , ou também coma soma e produto da equação

Lei de anulamento do produto

Há  equações quadráticas incompletas por sua vez estas podem ser resolvidas aplicando a lei do anulamento do produto, que diz que: um produto AxB de factores e nulo se e só se, pelo menos, um dos factores for zero, se A=0 ou B=0  ou ambos igual a zero.

Acompanhe a resolução deste exercício aplicando a lei do anulamento do produto

3{{a}^{2}}=a

3{{a}^{2}}-a=0

Coloca o factor em comum em evidencia, repare que o factor comum é o a

a\left( 3a-1 \right)=0

Resulta  um produto de factores igual a zero, e condição necessária que um deles seja igual a zero, matematicamente escreve-se:

 

a=0\vee 3a-1=0

    \[~~\]

a=0\vee 3a=1

a=0\vee a={}^{1}/{}_{3} 

S=\left\{ 0,{}^{1}/{}_{3} \right\}

Podemos também recorrer a soma e produto da equação, e e uma forma de determinar raízes mentalmente.

 

Fórmula de Bhaskara sua aplicação

x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}

A fórmula de Bhaskara ajuda-nos também na resolução de equações do 2 grau, mas antes de aprofundar não podemos deixar de fora a fórmula de delta, pois ela fornece algumas condições, acompanhe

\Delta ={{b}^{2}}-4.a.c se ∆ >0 teremos duas raízes reais distintas ou desiguais

\Delta ={{b}^{2}}-4.a.c se\Delta <0  não temos solução em R

\Delta ={{b}^{2}}-4.a.c se \Delta =0 temos duas raízes  iguais

Aplicação da fórmula do delta e do Bhaskara

Acompanhe a resolução da equação

Exemplo1 {{x}^{2}}-5x+6=0

1º Extrair os coeficientesa=1;b=-5;c=6

2º Aplicar a fórmula do delta

\Delta ={{b}^{2}}-4.a.c

\Delta ={{(-5)}^{2}}-4.1.6

\Delta =25-24

\Delta =1

3º Aplicar a fórmula do Bhaskara

{{z}^{2}}-5z+6=0

a=1,\text{ b= -5, c=6}

\Delta ={{b}^{2}}-4a.c

\Delta ={{(-5)}^{2}}-4.1.6

\Delta =25+24

\Delta =1

{{z}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}

{{z}_{1,2}}=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2}

{{z}_{1}}=\frac{5+\sqrt{1}}{2}=\frac{5+1}{2}=3

{{z}_{2}}=\frac{5-\sqrt{1}}{2}=\frac{5-1}{2}=2

      S= {2;3 } 

         

Podias também recorres a soma e produto,

{{x}^{2}}-5x+6=0

{{x}^{2}}-5x+6=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-sx+p=0

S =5

P=6

Podíamos dizer que dois números que somados dão 5 e multiplicados dão 6 são os números 2 e 3

S= {2;3 }         

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