Equação reduzida da circunferência

Circunferência

O conjunto de todos os pontos que tem uma distância fixa r de um ponto fixo C chama-se circunferência. A distância r é o raio e o ponto C é o centro.

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, podemos facilmente encontrara equação da circunferência

Usando a fórmula da distância entre dois pontos, podemos facilmente encontrar a equação da circunferência.

Se (h,k) é o centro e r é o raio. Então

Vamos aplicar o teorema de Pitágoras para relacionar esses dados

${{C}_{1}}^{2}+{{C}_{2}}^{2}={{r}^{2}}$

Essa é a equação da circunferência.

Quando o centro da circunferência coincide com a origem do sistema de coordenadas, a equação transforma-se em:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}}$

Exemplos 1

Vamos encontrar uma equação para a circunferência de raio 5 e centro (-3,4)

Aqui temos r=5, h=-3, e k=4.

Assim, a equação da circunferência é

${{\left[ x-\left( -3 \right) \right]}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}={{5}^{2}}$

${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}={{5}^{2}}$

Repare que temos casos notáveis do tipo ${{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$

Podemos desenvolver

${{x}^{2}}+6x+9+{{y}^{2}}-8y+16=25$

Reduzindo os termos, obtemos a equação desejada

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-8y+16=0$

Equação da circunferência

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, podemos facilmente encontrara equação da circunferência

Equação da circunferência

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, podemos facilmente encontrara equação da circunferência

Exmeplo 2

Vamos descrever o gráfico da equação ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y+9=0$

Uma vez que a equação é quadrática e os coeficientes de ${{x}^{2}}$ e ${{y}^{2}}$ são iguais , lsto é sugere que o gráfico é uma circunferência. Rearranjando os termos e completando os quadrados, obtemos:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y+9=0$

${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-\left( -3 \right) \right)}^{2}}=4$

${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=4$

Deste modo , o gráfico da equação dada é uma circunferência de centro (2,-3)

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