Equação biquadrada- definição métodos de resolução


O que será equação biquadrada ?

Bastante simples, você já conhece o conceito geral  de uma equação, portanto a equação é uma igualdade  que  envolve  polinómios.  No caso  em  que  o  polinómio  envolvido  é  de  grau  2

Chamamos a equação  biquadrada , neste caso concreto o nosso polinómio será trinómio de grau 4.portanto, teremos um termo do 4º grau, um do 2º grau e um termo independente .

Definição

Define-se equação biquadrada como a equação incompleta do quarto grau, que, após efectuadas todas as reduções possíveis, contém apenas termos onde a incógnita está submetida a expoentes de grau par.

E desse modo, podemos escrever a forma geral da equação biquadrada como: a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0 onde a≠0 , a, b e c são números reais.

A resolução deste tipo de equações biquadratica é muito simples pois, elas se reduzem sempre a equações quadráticas.

Exemplos

{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+6=0

\text{ }4{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-1=0

Como resolver a equação biquadrada?

Para  resolver  equações  biquadradas,  recorre-se  a  introdução  de  uma  nova  variável  como  por exemplo:

Para   a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0 substituindo {{x}^{4}}=z, teremos a{{z}^{2}}+b{{z}^{{}}}+c=0 (equação quadrática) encontrados os valores de z1 e z2 volta-se a variável inicial “x” e consequentemente, as raízes da equação.

{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2=0\text{ }

\text{seja }{{x}^{2}}=t

{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-3{{x}^{2}}+2=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+2=0

\Delta =9-1\Leftrightarrow \text{ }{{t}_{2}}=\frac{3+1}{2}=2\Leftrightarrow {{t}_{1}}=\frac{3-1}{2}=1\text{ }

Fazendo uma retrosubstituição

se\text{ t=1}\Rightarrow \text{1=}{{\text{x}}^{2}}\Rightarrow \text{x}\pm \text{1}

se\text{ t=2}\Rightarrow 2\text{=}{{\text{x}}^{2}}\Rightarrow \text{x}\pm 2

{{\text{x}}_{1}}=-1\text{ };\text{ }{{\text{x}}_{2}}=1\text{ ; }{{\text{x}}_{3}}=-\sqrt{2}\text{ e }{{\text{x}}_{4}}=\sqrt{2}

S=\left\{ -\sqrt{2};-1;\sqrt{2;}1 \right\}

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