Distância entre dois pontos

Como calcular a distância de dois pontos ?

A distância d entre dois pontos P\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right) e Q\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right) no plano pode ser dada pelo módulo do vector \overrightarrow{PQ} , isto é, d\left( P,Q \right)=\left| \overrightarrow{PQ} \right|

Mas podemos determinar também a distância aplicando o famoso teorema de Pitágoras, observa a figura acima, verificamos que o triângulo PQR é rectângulos no vértice R. Assim, pelo teorema de Pitágoras, determinaremos a distância d\left( P,Q \right) que corresponde a hipotenusa a partir das medidas dos catetos \overline{PR}=\left( {{x}_{2}},{{x}_{1}} \right) e RQ=\left( {{y}_{2}},{{y}_{1}} \right) ou seja:

{{\overline{PQ}}^{2}}={{\overline{PR}}^{2}}+{{\overline{RQ}}^{2}}

\overline{PQ}=\sqrt{{{\overline{PR}}^{2}}+{{\overline{RQ}}^{2}}}

Substituindo pelas coordenadas.

d\left( P,Q \right)=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}

Exemplo:

Vamos determinar a distância d entre os pontos P(0,5) e Q(-3,1), aplicando a fórmula .

d\left( P,Q \right)=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}

d\left( P,Q \right)=\sqrt{{{\left( -3-0 \right)}^{2}}+{{\left( 1-5 \right)}^{2}}}

d\left( P,Q \right)=\sqrt{{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}

d\left( P,Q \right)=\sqrt{25}

d\left( P,Q \right)=5

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