Distância de um ponto a uma recta-geometria analítica

A essência  da geometria  analítica  (não  estamos  ainda  a  restringir-nos  ao plano) esta no  uso  de  métodos algébricos para  resolução  de  problemas  geométricos.  Este método trouxe a  fusão  do pensamento  puramente  geométrico  (também  denominadom6todo  sintético)  com  o  pensar  algébrico.  Por  essa  razão,  na  geometria  analítica estaremos  sempre  perante  situações  que  nos  levam  a  raciocinar  geométrica  e algebricamente e umas dessas relações é a distancia de um ponto a recta , e essa distancia vai ser calculada na perpendicularidade com a recta e o ponto.

Seja um ponto P=\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) e uma recta r no plano definida por:

ax+by+c=0

A distancia d=(p,r) do pontoP=\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) a recta r dada por ax+by+c=0 pode ser obtida pela formula

d\left( P,r \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}

Exemplo1

Vamos calcular a distância do ponto ( 3,2) a recta 5x+12y+25

d\left( P,r \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}

d\left( P,r \right)=\frac{\left| 5.2+12.3+25 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}}

d\left( P,r \right)=\frac{\left| 5.2+12.3+25 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}}

d\left( P,r \right)=\frac{71}{\sqrt{169}}

d\left( P,r \right)=\frac{71}{13}

Exemplo 2

Exame de Admissao  UP 2017 n◦ 29

Vamos calcular a distância do ponto  A( -2 ,3) a recta   s   y=2x+7

Essa equação da recta pode escrever assim 2x-y+7=0 e essa é a formula normal.

d\left( P,r \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}

d\left( P,r \right)=\frac{\left| 2.(-2)-1.3+7 \right|}{\sqrt{{{\left( 2 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}

d\left( P,r \right)=\frac{\left| -4-3+7 \right|}{\sqrt{4+1}}

d\left( P,r \right)=\frac{\left| 0 \right|}{\sqrt{5}}

d\left( P,r \right)=0

 

d\left( P,r \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}

Exemplo3

Vamos calcular a distância do ponto  A( 3 ,5) a recta   s   4x+3y+9

d\left( A,r \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}

d\left( A,r \right)=\frac{\left| 3.4+3.5+9 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}

d\left( A,r \right)=\frac{\left| 12+15+9 \right|}{\sqrt{16+9}}

d\left( A,r \right)=\frac{48}{\sqrt{25}}

d\left( A,r \right)=\frac{48}{5}

Exemplo 4

Vamos agora determinar no pontoP\left( {{x}_{0}},4 \right)  a coordenada {{x}_{0}} sabendo que a distância desse ponto a recta e de \frac{1}{2},  com a equação 5x+y+3.

d\left( A,r \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{\left| 3.{{x}_{0}}+1.4+3 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{1}^{2}}}}\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{\left| 3.{{x}_{0}}+4+3 \right|}{\sqrt{25+1}}

\frac{1}{2}=\frac{\left| 3.{{x}_{0}}+7 \right|}{\sqrt{26}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{26}}{\underset{(1)}{\mathop{2}}\,}=\underset{(2)}{\mathop{3{{x}_{0}}}}\,+\underset{(2)}{\mathop{7}}\,\Leftrightarrow \sqrt{26}=6{{x}_{0}}+14\Leftrightarrow 6{{x}_{0}}=\sqrt{26}-14

{{x}_{0}}=\frac{\sqrt{26}-14}{6}

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