Definição e Propriedades dos Logaritmo

Definição e Propriedades dos Logaritmo

Definição de Logaritmo

Sejam a e b números reais positivos, com a ≠ 1, chamamos de logaritmo de b na base a, o

Expoente real x ao qual se eleva a para obter b.

Assim ,se \log _{a}^{b}=x\Leftrightarrow {{a}^{x}}=b , em que b>0, a >0 e a\ne 0

a  chama-se base
b chama se logaritmando ou antilogaritmo

x = logaritmo

Vamos ver as consequências da definição dos logaritmos

\log _{b}^{1}=0                      \log _{b}^{b}=1                      \log _{b}^{{{b}^{x}}}=x                      {{b}^{\log _{b}^{y}}}=y

Repare nestes exemplos

\log _{2}^{32}=5porque {{2}^{5}}=32

\log _{4}^{16}=2porque {{2}^{4}}=16

\log _{1556}^{1}=0porque {{1556}^{0}}=1

 

\log _{\frac{1}{16}}^{\text{   8}}=x

{{\left( {{2}^{-4}} \right)}^{x}}={{2}^{3}}

{{2}^{-4x}}={{2}^{3}}

-4x=3

x=-\frac{3}{4}

Conjunto verdade \left\{ -\frac{3}{4} \right\}

 

Propriedades operatórias dos logaritmos

Logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos

\log _{a}^{\left( x.y \right)}=\log _{a}^{x}+log_{a}^{y}

Exemplos

\log _{2}^{\left( 16.4 \right)}=\log _{2}^{16}+log_{2}^{4}

Feito isto temos que calcular cada logaritmo separadamente:

\log _{2}^{16}

{{2}^{x}}=16

{{2}^{x}}={{2}^{4}}\Rightarrow x=4

log_{2}^{4}

{{2}^{x}}=4

{{2}^{x}}={{2}^{2}}\Rightarrow x=2

\log_{2}^{4}

\{{2}^{x}}=4

\{{2}^{x}}={{2}^{2}}\Rightarrow x=2

Somando os logaritmos temos

\log _{2}^{16}+log_{2}^{4}=4+2=6

Logaritmo de um quociente

Logaritmo do quociente é igual a diferenca dos logaritmos

\log _{a}^{\left( \frac{x}{y} \right)}=\log _{a}^{x}-\log _{a}^{y}

Exemplos

\log _{3}^{\left( \frac{1}{27} \right)}=\log _{3}^{1}-\log _{3}^{27}

{{3}^{x}}=1\Rightarrow {{3}^{x}}={{3}^{0}}

x=0

\log _{3}^{27}

{{3}^{x}}=27\Rightarrow {{3}^{x}}={{3}^{3}}

x=3

Subtraindo os valores obtidos temos

\log _{3}^{1}-\log _{3}^{27}=0-3=-3

 

Caso particular \log _{a}^{\sqrt[n]{{{x}^{m}}}}=\log _{a}^{{{x}^{\frac{m}{n}}}}=\frac{m}{n}\log _{a}^{x}

Exemplo

\log _{3}^{\sqrt[3]{{{27}^{4}}}}=\log _{a}^{{{27}^{\frac{4}{3}}}}=\frac{4}{3}\log _{3}^{27}

Feito isto, determinamos o \log _{3}^{27}  e depois multiplicamos o resultado com 3/4.

\log _{3}^{27}\Rightarrow {{3}^{x}}={{3}^{3}}

x=3.\frac{3}{4}=\frac{9}{4}

Mudança e base

\log _{x}^{y}=\frac{\log _{c}^{y}}{\log _{c}^{x}}

\log _{3}^{2}=\frac{\log _{10}^{2}}{\log _{10}^{3}}=\frac{\log _{10}^{2}}{\log _{2}^{3}}=\frac{0,30}{0,48}\simeq 0,625

Logaritmo decimal

Logaritmos decimais são aqueles logaritmos que tem base 10, ele e subentendido.

\log _{{}}^{10}=1     ,   \log _{{}}^{100}=2     , \log _{{}}^{0,1}=-1,

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