Limites com raízes – exercícios resolvidos

Aí pessoal tudo em ordem? Nesta matéria vou mostrar como calcular os limites irracionais, mas o que será um limite irracional? Basta se lembrar das Expressões algébricas irracionais que são aquelas que a incógnita aparece dentro de uma raiz.Podemos definir limites irracionais como limite cuja função é irracional.

Por exemplo  \sqrt{x-1}-6 , \frac{\sqrt{x-2}}{x-1}

Importa  agora  procurar  um  processo  para  calcular  o  limite  deste  tipo  de funções caso encontrarmos uma forma indeterminada ao substituir o valor de x na função dada.

No cálculo de limites de funções irracionais devemos nos apoiar nos princípios válidos  para  as  expressões  irracionais  portanto,  como  proceder  para  tornar expressões  irracionais  em  expressões  racionais.  Ao  calcular  limite  deste  tipo de  funções  podemos  chegar  a  situação  de  indeterminação  e  para  desta  nos desembaraçar precisamos de fazer racionalização das expressões irracionais.

 

Recorde-se que a racionalização depende do tipo de expressão irracional

  • Quando temos uma expressão do tipo \frac{B}{\sqrt{A}} multiplica-se o numerador e o denominador pelo radical para racionalizar o denominador.

\frac{x+1}{\sqrt{2x}}=\frac{\left( x+1 \right)\sqrt{2x}}{\sqrt{2x}.\sqrt{2x}}=\frac{\left( x+1 \right)\sqrt{2x}}{2x}

Note  que,  a  racionalização  pode  ser  tanto  para  o  numerador  como  para  o denominador ou mesmo uma expressão com radicais que não seja fracção desde que haja necessidade para o efeito.

Vamos considerar agora, limites com expressões irracionais :

\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}=\frac{\sqrt{9}-3}{9-9}=\left( \frac{0}{0} \right) é uma indeterminação

Como pode ver substituindo x por 9 na expressão, obtém-se uma indeterminação, para levantar a indeterminação temos que multiplicar ambos factores da fracção pelo conjugado do numerador. assim:

\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}=\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}=\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}{\left( x-9 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}=\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-9}{\left( x-9 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}

=\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-9}{\left( x-9 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}=\underset{x\to 9}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x}+3}=\frac{1}{6}

Exemplo 2

Este é um exemplo de um limite com o n tendendo a infinito.

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{n+1}-\sqrt{n}

O  levantamento  da  indeterminação  consiste  em  multiplicar  e  dividir  a expressão pela sua conjugada pois a substituição directa do n por  resultará uma indeterminação.

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\propto +1}-\sqrt{\propto }=\left( \propto -\propto  \right)

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right)}{\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right)}=\frac{n+1-n}{\left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \right)}=\frac{1}{\propto }=0

Exemplo 3

\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}

\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{5-1}-2}{5-5}=\frac{0}{0} é uma indeterminação

Multiplico ambos factores da fracção pelo conjugado do numerador, simplificou a expressão e por último substituiu x por 5.

\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{x-1}-2 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}{\left( x-5 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}=\frac{{{\left( \sqrt{x-1}-2 \right)}^{2}}}{\left( x-5 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}=\frac{x-1-4}{\left( x-5 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}

=\frac{x-5}{\left( x-5 \right)\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}=\frac{1}{\left( \sqrt{x-1}+2 \right)}=\frac{1}{4}

As  expressões  irracionais  conduzem  à  funções  irracionais  e consequentemente, podemos ter o cálculo de limites destas funções.

O  cálculo  deste  tipo  de  limites  basea-se  no  processo  de  substituição  da variável na função.

Tal  como  nos  casos  anteriores,  existem  casos  de  indeterminação  e  para levantar  esta   indeterminação  há  que  considerar  os  procedimentos  para  a racionalização de expressões irracionais.

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